信号处理与系统分析考试
第一部分 简答题
1. 什么是系统？列举三个实际应用的例子并说明其输入与输出。
在信号处理中，系统是指对输入信号进行处理，通过一些数学运算或电子电路的组合来输出一个新信号的组合。这个过程中，系统必须满足线性与时不变的条件。根据输入输出之间的关系，系统可以分为线性与非线性系统，时不变与时变系统。以下是三个实际应用的例子：
例子一：音响系统
音响系统是一个典型的线性时不变系统。输入是声音信号电流，输出是通过扬声器将声音信号声波扩散到空气中。这个系统的特点是输入改变，输出也随之改变，但是输入之间的关系是线性的，即输出大小与输入大小成正比。
例子二：图像处理系统
图像处理系统是一个典型的非线性时不变系统。输入是图像数据，输出可以是处理后的图片或者数字信号。这个系统的特点是输入之间的关系不是简单的线性比例关系，导致输出与输入之间的关系很难建立数学模型。
例子三：自动驾驶汽车
自动驾驶汽车是一个复杂的非线性时变系统，随着车速、天气、路况等因素变化，其输入与输出之间的关系不断改变。输入可以是各种传感器采集的数据，输出是控制汽车行驶的指令信号。
2. 请简述卷积在信号处理中的作用？并列举卷积的一些常规应用。
卷积在信号处理中是一种数学运算方式，具体可以理解为两个信号之间的重叠面积，或者是输入信号在不同点上的加权累积。卷积在信号处理中有很广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：
例子一：信号滤波
在信号处理中，卷积可以用来实现滤波器的设计。根据需要过滤的信号特点，可以设计相应滤波器的冲激响应函数，然后将该函数与原始信号进行卷积，即可得到滤波之后的结果。
例子二：信号重构
卷积可以用来实现信号的重构。这个过程中，需要选定一定的卷积核，将信号进行卷积运算，即可得到一个新的信号。通过不同的卷积核选择，可以得到不同的结果，实现信号的变换与重构。
例子三：图像处理
在数字图像处理中，卷积可以用来实现图像滤波与增强。将图像数据与定义好的卷积核进行卷积运算，可以得到一张经过处理后的新图片。
第二部分 计算题
3. 请计算以下差分方程的解析解：y[n] -2y[n-1] + y[n-2] = x[n]
根据差分方程，可以得到相应的特征方程：
z^2 - 2z + 1 = 0
将特征方程进行化简，可以得到：
(z-1)^2 = 0
根据特征方程的根，可以得到对应的解析解为：
y[n] = c1 * 1^n + c2 * n * 1^n + x[n]
其中，c1, c2为待定系数，通过给定的初始条件可以求解。
第三部分 证明题
4. 请证明离散傅里叶变换的快速算法时间复杂度为O(N log N)。
离散傅里叶变换（DFT）计算复杂度为O(N^2)，因此在实际应用中，需要使用快速算法来加速计算。离散傅里叶变换的快速算法是通过减少计算次数来实现的。
假设N为2的整数次幂，快速算法可以分为两个阶段：
第一阶段：
通过将N个序列分成长度为2的两个子序列，对每个子序列进行一次Butterfly蝴蝶运算（计算一对点值），得到N/2个点值。这个过程的复杂度为O(N)。
第二阶段：
使用递归的方式，对N/2个点值进行快速算法计算，直到得到长度为1的子序列。这个过程的复杂度为O(log N)。
综上所述，离散傅里叶变换的快速算法时间复杂度为O(N log N)。
