什么是收敛半径an
在数列或级数中，收敛是指当项或和趋于一定的值时，称其为收敛的。然而，并不是所有的数列或级数都是收敛的，有些可能会发散或者发散到无穷大。因此，为了能够区分出哪些是收敛的数列或级数，数学家们提出了收敛半径的概念，即数列或级数从哪一项开始保证收敛，这个位置被称为收敛半径an。
求收敛半径an的方法
有些数列或级数的收敛半径可以直接根据一般的定理和方法求解，例如，使用根值法和比值法可以得出不少级数的收敛半径。但是对于一些比较复杂的数列或级数，我们需要使用更高级的方法来求解收敛半径。
其中，最常用的方法是柯西-阿多马尔公式。该公式是可以求解绝大多数数列或级数的收敛半径的。使用该公式，需要计算出数列或级数的极限$\\lim_{n \o \\infty} \\sqrt[n]{|a_n|}$，并让其等于一个特定的值，最终解出 an 即可。
应用举例
以下是一个应用柯西-阿多马尔公式来求解收敛半径的例子：
求级数$\\sum_{n=0}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}$的收敛半径an。
首先，我们计算其极限： $\\begin{aligned} \\lim_{n \o \\infty} \\sqrt[n]{\\left|\\frac{(-1)^n}{n+1}\\right|} &= \\lim_{n \o \\infty} \\frac{1}{\\sqrt[n]{n+1}}\\\\ &= 1 \\end{aligned}$
将 $1$ 代入柯西-阿多马尔公式：$an=\\lim_{n \o \\infty} \\frac{1}{|a_{n+1}|^{\\frac{1}{n}}}=\\lim_{n \o \\infty} \\frac{1}{\\left|\\frac{(-1)^{n+1}}{n+2}\\right|^{\\frac{1}{n}}}=1$，说明该级数的收敛半径为$1$。
通过的例子，我们发现柯西-阿多马尔公式是一种非常实用的方法，特别是对于那些无法用一般方法求解的数列或级数，都能够通过使用该公式来解决。在求解的时候，需要注意对于不同的数列或级数，要选择不同的方法来求得极限值，才能得出最终的收敛半径an。
