正弦定理公式证明

引言

正弦定理是初中数学中比较重要的定理之一，该定理描述了三角形各边的长度与其对应角的正弦值之间的关系。本文将证明正弦定理公式，详细解释其原理和推导过程。

证明过程

我们考虑海龙公式：$$S=p\\cdot r$$ 其中，$p$表示三角形半周长，$r$表示内切圆半径，$S$表示三角形面积。我们希望用海龙公式来推导正弦定理。根据正弦函数定义，我们可以得到：$$\\sin\heta=\\frac{BC}{AC}=\\frac{AB}{AC}\\cdot\\sin\\angle A$$ 同理，可得：$$\\sin\\gamma=\\frac{AB}{BC}=\\frac{AC}{BC}\\cdot\\sin\\angle B$$ $$\\sin\\alpha=\\frac{AC}{AB}=\\frac{BC}{AB}\\cdot\\sin\\angle C$$ 将上述三式联立，可得： $$\\frac{AB}{\\sin\\angle A}=\\frac{AC}{\\sin\\angle B}=\\frac{BC}{\\sin\\angle C}$$ 令$$2s=a+b+c$$ 其中，$a,b,c$分别表示三角形的三条边，$s$表示其半周长。利用内切圆的面积公式，我们可以得到：$$2s\\cdot r=S=\\frac{1}{2}\\cdot a\\cdot h_a=\\frac{1}{2}\\cdot b\\cdot h_b=\\frac{1}{2}\\cdot c\\cdot h_c$$ 其中，$h_a,h_b,h_c$分别表示三角形三条边上的高。将上述式子带入海龙公式，可得： $$r=\\frac{S}{p}=\\frac{abc}{4R\\cdot 2s}$$ 即：$$\\frac{abc}{4R}=(s-a)\\cdot (s-b)\\cdot (s-c)$$ 其中，$R$表示三角形外接圆半径。将上述式子中的三个括号展开可得： $$(s-a)\\cdot (s-b)\\cdot (s-c)=s\\cdot (s-a)\\cdot (s-b)\\cdot (s-c)\\cdot \\frac{1}{s}$$ $$=\\frac{1}{16}(2s-2a)\\cdot (2s-2b)\\cdot (2s-2c)$$ $$=\\frac{1}{16}a\\cdot b\\cdot c$$ 将上述结果代入原式可得： $$\\frac{a\\cdot b\\cdot c}{4R}=4(s-a)\\cdot (s-b)\\cdot (s-c)$$ $$\\Rightarrow \\frac{a\\cdot b\\cdot c}{8S}=2(s-a)\\cdot 2(s-b)\\cdot 2(s-c)$$ $$\\Rightarrow \\frac{a\\cdot b\\cdot c}{8S}=(a+b-c)\\cdot (a-b+c)\\cdot (-a+b+c)$$ 不难发现，右边的括号内恰好为$AB^2,AC^2,BC^2$的值，即： $$\\frac{a\\cdot b\\cdot c}{8S}=4R^2\\cdot\\sin\\angle A\\cdot\\sin\\angle B\\cdot\\sin\\angle C$$ $$\\Rightarrow \\frac{a}{\\sin\\angle A}=2R$$ 化简可得：$$\\frac{a}{\\sin\\angle A}=\\frac{b}{\\sin\\angle B}=\\frac{c}{\\sin\\angle C}=2R$$ 这就是正弦定理的公式。

经过上述证明，我们可以得到正弦定理的公式：$\\frac{a}{\\sin\\angle A}=\\frac{b}{\\sin\\angle B}=\\frac{c}{\\sin\\angle C}=2R$。这一公式描述了三角形的边长和对应顶角的正弦值之间的关系，是初中数学的重要知识点。

参考文献

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张鸿梅. 数学分册论文选编，华东师范大学出版社，2017.
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