余弦定理公式变形过程

公式推导

余弦定理是初中数学教学中比较重要的内容，它给出了一个三角形三个边长和一个角度之间的关系。假设我们有一个三角形ABC，三边分别为a，b，c，对应角分别为A，B，C，则余弦定理可以表示为： $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos C$$ 我们考虑如何将这个等式中的一个变量表示成其他变量的函数。首先，我们将cos C 作为等式中的主要变量，其余部分移到右边，得到： $$\\cos C = \\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$ 接着，我们注意到这个结果仅仅是表示了一个角的余弦值，我们可以尝试将它表示成正弦或者正切的函数。根据三角函数的性质，有 $$\\cos^2 C + \\sin^2 C = 1$$ 代入我们刚刚得到的值，得到 $$\\sin^2 C = 1 - \\cos^2 C = 1 - \\frac{(a^2 + b^2 - c^2)^2}{4a^2b^2}$$ 再进行一些变形，得到 $$\\sin C = \\pm\\sqrt{1 - \\frac{(a^2 + b^2 - c^2)^2}{4a^2b^2}}$$ 由于我们假设了三角形ABC是存在的，所以sin C 一定大于零，因此正负号只保留正号： $$\\sin C = \\sqrt{1 - \\frac{(a^2 + b^2 - c^2)^2}{4a^2b^2}}$$ 同样地，我们也可以用正切函数来表示，可以得到： $$\an\\frac{C}{2} = \\sqrt{\\frac{1 - \\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}}{1 + \\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}}}$$

应用举例

余弦定理和它的变形可以应用于求解许多三角形的问题。以下是一些例子： 例1： 如果一辆汽车从一个交叉口开始出发，它向东行驶1000米后，接着向南行驶1500米，最后再向东行驶500米，将到达一个目的地。请问这辆汽车所行走的路程和与起点的距离。我们可以画一张图来表示这个问题：

图中，点O表示起点，D表示目的地，AC表示汽车向东行驶1000米，BC表示汽车向南行驶1500米，AD表示汽车向东行驶500米。为了求解距离，我们可以先计算边长，得到： $$OA = AC = 1000\ext{米}$$ $$OB = BC + OC = 1500\ext{米} + OA = 2500\ext{米}$$ $$BD = AD = 500\ext{米}$$ 那么，根据余弦定理，我们可以求出角AOC的余弦值： $$\\cos AOC = \\frac{AO^2 + OC^2 - AC^2}{2\imes AO\imes OC} = \\frac{3}{5}$$ 接着，我们可以用正弦函数来求出角AOC的正弦值： $$\\sin AOC = \\sqrt{1 - \\cos^2 AOC} = \\frac{4}{5}$$ 因此，我们可以得到距离的值为： $$OD = OA\imes\\sin AOC + BD\imes\\cos AOC = 400 + 300 = 700\ext{米}$$ 同样地，我们可以使用变形后的余弦定理，通过计算角AOC的正切值来求出距离： $$\an\\frac{AOC}{2} = \\sqrt{\\frac{1 - \\frac{AC^2 - OC^2}{2\imes AO\imes OC}}{1 + \\frac{AC^2 - OC^2}{2\imes AO\imes OC}}} = \\frac{4}{3}$$ 因此，我们也可以计算出距离的值为： $$OD = OA\imes\an\\frac{AOC}{2} + BD = 400 + 300 = 700\ext{米}$$ 例2： 在一个等腰直角三角形中，确定两条直角边中最长的那条边。考虑一个等腰直角三角形ABC，其中AC = BC = a，AB = a√2。