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数学补充习题八年级下册答案（八年级下册数学补充习题答案）

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八年级下册数学补充习题答案

第一部分：基础练习

小标题：1.1 一元一次方程

1. $x+\\frac{1}{2}=\\frac{3}{4}$，解得 $x=\\frac{1}{4}$。2. $3(x-1)=6(x+1)$，解得 $x=\\frac{7}{3}$。3. $2(x-3)=5(x+2)-3(x-5)$，解得 $x=\\frac{41}{5}$。4. $\\frac{1}{2}(x-1)=\\frac{1}{4}(2x+3)-\\frac{1}{8}(4x-1)$，解得 $x=\\frac{7}{2}$。5. $(4x+5)-(x-3)=(x+1)-(x-5)$，解得 $x=3$。

小标题：1.2 平面图形的性质

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1. 三个内角和为 $180^\\circ$。2. 平行四边形的对角线相等。3. 正方形的对角线相等，且垂直相交。4. 直角三角形的两条腰的平方和等于斜边的平方。5. 等腰三角形的底角相等。

小标题：1.3 海伦公式

1. 已知三边的长度分别为 $a=3$，$b=4$，$c=5$，则三角形面积为 $S=\\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\\frac{3\\cdot4}{2}=6$，其中 $p=\\frac{1}{2}(a+b+c)=6$。2. 已知三边的长度分别为 $a=5$，$b=6$，$c=7$，则三角形面积为 $S=\\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\\frac{15\\sqrt{14}}{4}$，其中 $p=\\frac{1}{2}(a+b+c)=9$。3. 已知三边的长度分别为 $a=4$，$b=5$，$c=6$，则三角形面积为 $S=\\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=0$，其中 $p=\\frac{1}{2}(a+b+c)=7.5$。因为 $p第二部分：提高练习

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小标题：2.1 比例与相似

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1. 比 $3:5$，分为 $8$ 份，则每份为 $\\frac{3}{5}\\div8=\\frac{3}{40}$。第 $7$ 份的数值为 $\\frac{3}{40}\\cdot7=\\frac{21}{40}$。2. $\\frac{2}{3}:\\frac{5}{9}=\\frac{6}{9}:\\frac{5}{8}=\\frac{16}{27}$。3. 三角形相似，同比例尺为 $\\frac{1}{2}$，则 $\\overline{AD}:\\overline{AB}=\\overline{DF}:\\overline{DE}=\\overline{AF}:\\overline{AE}=\\frac{1}{2}$。因此，$\\overline{AD}=5$，$\\overline{DF}=\\frac{5}{2}$，$\\overline{AF}=\\frac{5}{2}+5=\\frac{15}{2}$。4. 两条直线的斜率分别为 $k_1=2$，$k_2=-\\frac{1}{2}$。则它们的夹角 $\heta=\\arctan\\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}=\\arctan\\frac{-\\frac{5}{4}}{\\frac{3}{4}}=-\\frac{5\\pi}{12}$。

小标题：2.2 平移、旋转和对称

1. 向右平移 $3$ 个单位，向上平移 $2$ 个单位，得到新坐标为 $(7,8)$。2. 将点 $(x,y)$ 逆时针旋转 $90^\\circ$ 后所得到的坐标为 $(-y,x)$。因此，将点 $(4,-5)$ 逆时针旋转 $90^\\circ$ 后得到的坐标为 $(5,4)$。3. 如图所示，以直线 $l$ 为对称轴，把图形对称后得到的新图形为 $\\rm\\small{C}$。 ![image.png](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/jvysndxu.png)

小标题：2.3 平面向量

1. $3\\vec{a}+2\\vec{b}=(3,6)$，因此 $\\vec{a}=(1,2)$，$\\vec{b}=(0,-3)$。2. $\\vec{AB}=(5,2)-(-1,3)=(6,-1)$。则 $\\|\\vec{AB}\\|=\\sqrt{6^2+(-1)^2}=\\sqrt{37}$。3. $\\vec{a}\\cdot\\vec{b}=|\\vec{a}||\\vec{b}|\\cos\heta=-1$，因此 $\heta=180^\\circ$ 或 $\\vec{a}=-\\vec{b}$。不难验证，$\\vec{a}=\\begin{pmatrix}1\\\\-2\\end{pmatrix}$，$\\vec{b}=\\begin{pmatrix}-1\\\\2\\end{pmatrix}$ 满足 $|\\vec{a}|=|\\vec{b}|=3$，且 $\\vec{a}=-\\vec{b}$。

第三部分：巩固练习

小标题：3.1 二次根式

1. $\\sqrt{50}=\\sqrt{25}\\sqrt{2}=5\\sqrt{2}$。2. $\\sqrt{2}\\cdot\\sqrt{8}=\\sqrt{16}=4$。3. $\\sqrt{27}=\\sqrt{9}\\sqrt{3}=3\\sqrt{3}$。4. $\\sqrt{\\frac{1}{3}}=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$。5. $\\sqrt{24}=\\sqrt{4\imes6}=2\\sqrt{6}$。

小标题：3.2 三角函数

1. $\\sin 150^\\circ=\\sin(180^\\circ-30^\\circ)=\\sin 30^\\circ=\\frac{1}{2}$。2. $\\cos 240^\\circ=\\cos(360^\\circ-120^\\circ)=-\\cos 120^\\circ=-\\frac{1}{2}$。3. $\an 45^\\circ=1$，$\an 60^\\circ=\\sqrt{3}$。4. $\\sin 2\\alpha=2\\sin\\alpha\\cos\\alpha=2\imes\\frac{3}{5}\imes\\frac{4}{5}=\\frac{24}{25}$。5. $\\cos 2\\alpha=2\\cos^2\\alpha-1=2\imes\\frac{4}{5}-1=\\frac{3}{5}$。

小标题：3.3 向量运算

1. $\\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c}=(8,-1)+(1,5)+(-2,7)=(7,11)$。2. $\\|\\vec{a}-2\\vec{b}\\|=\\sqrt{(6-2\imes 1)^2+(3-2\imes 2)^2}=\\sqrt{13}$。3. $\\vec{a}\\cdot\\vec{b}=(5,-3)\\cdot(2,4)=10-12=-2$，$\\|\\vec{a}\imes\\vec{b}\\|=\\sqrt{25+6^2}=7$。4. $\\vec{a}=(1,1)$，$\\vec{c}=(0,1)$，故 $\\vec{b}=\\vec{a}-\\vec{c}=(1,0)$。则 $\\vec{a}\\cdot\\vec{b}=1$。5. $\\vec{a}\imes\\vec{b}=(-3,2,1)\imes(1,-1,0)=(1,1,-5)$。则 $\\|\\vec{a}\imes\\vec{b}\\|=\\sqrt{27}$。

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