探究“平方差公式”
一、引入
通过上节课的学习，同学们对“平方差公式”有了初步的了解。今天，我们将进一步探究“平方差公式”，深入理解其应用原理。
二、理解与应用
1. 回顾平方差公式
在上节课我们已经学习了平方差公式：$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ 这个公式有什么作用呢？
2. 探究平方差公式的应用
a. 缩小数字范围
例如，计算$37×43$，我们可以使用平方差公式，布鲁取返厄辛公式（FOIL）求得$(40-3)(40+3)=40^2-3^2=1561$，再使用除10和除100的方法缩小范围，最终得出结果为1591。这种缩小数字范围的方法在与时限赛等考试中十分实用。
b. 求曲面面积
在立体图形中，若已知空间中一点$A(x_1,y_1,z_1)$以及离该定点距离为$r$的一点$B(x_2,y_2,z_2)$，则$AB$的长度可以由下式得出：$$AB=\\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$$ 由平方差公式，可以推出：$$(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2=r^2$$ 因此，我们可以利用此式推导出球体的表面积、柱体的表面积等。
c. 快速计算等差数列和
利用平方差公式，我们可以快速地计算等差数列的和。对于首项为$a_1$，公差为$d$，项数为$n$的等差数列，其和为：$$S_n=\\frac{n(2a_1+d(n-1))}{2}$$ 实际上，这个式子就是将等差数列$n$项的和$Sn$转化为前$n$项平方和与前$n$项的和的平方的差。
三、总结
通过今天的学习，我们深入理解了平方差公式的应用原理。平方差公式的作用十分广泛，同学们可以根据实际问题进行运用。
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