九年级数学补充习题答案（九年级数学补充习题答案解析）

九年级数学补充习题答案解析

第一部分：代数学习中的问题解析

1. 消元、配方法的应用

题目：
求方程 $\\frac{2}{x+1} + \\frac{1}{x+2} = \\frac{3-x}{x^2+3x+2}$ 的解。解析：
将方程化简，得到 $5x^3+14x+6=0$。通过配方法，解得 $x=-2$ 和 $x=\\frac{-1+\\sqrt{29}}{5}$。所以该方程解为 $x=-2$ 和 $x=\\frac{-1+\\sqrt{29}}{5}$。

2. 分式方程解法

题目：
已知 $2x-1 \\leq y \\leq x+3$，求 $\\frac{x}{y}$ 的值域。解析：
首先求出 $x$ 的值域：$2x-1 \\leq y$，$x+3 \\geq y$，即 $-1 \\leq x \\leq 2$。然后分别求出 $x$ 在不同范围内 $\\frac{x}{y}$ 的取值范围，得到 $\\frac{-\\frac{1}{5}}{1}, \\frac{0}{5}, \\frac{2}{-1}, \\frac{2}{6}$，即 $\\frac{-1}{5}, 0, \\frac{-2}{1}, \\frac{1}{3}$。综合得到 $\\frac{x}{y}$ 的值域为 $[ \\frac{-2}{1}, \\frac{1}{3}]$。

第二部分：几何学习中的问题解析

1. 平面图形面积问题

题目：
如图，$\riangle ABC$，$\riangle ADE$ 是 $\riangle ABC$ 中的一部分，已知 $\riangle ADE$ 的面积是 $\riangle ABC$ 面积的 $\\frac{1}{4}$，$\riangle BED$ 面积是 $\riangle ABC$ 面积的 $\\frac{1}{6}$，求 $\riangle ABE$ 的面积。解析：
设 $\riangle ABE$ 的面积为 $S$，则 $\riangle BDE$ 的面积为 $\\frac{1}{6}S$。由于 $\riangle ADE$ 面积是 $\riangle ABC$ 面积的 $\\frac{1}{4}$，所以 $\riangle ABD$ 的面积为 $\\frac{3}{4}S$。因此，$\riangle ABE$ 的面积为 $(\\frac{3}{4}S+\\frac{1}{6}S+S)-2\\cdot\\frac{1}{6}S=\\frac{5}{9}S$。

2. 空间图形体积问题

题目：
如图，$ABCD$ 是一个长方体，$E$ 是 $AB$ 上一点，$F$ 是 $BC$ 上一点，$\\overrightarrow{EF}$ 与平面 $BCD$ 平行，交过点 $G$ 所在的线段的中点为 $H$，$\riangle AHD$ 的面积为 $3$，$\riangle BGF$ 的面积为 $2$，求体积 $ABCD$。解析：
首先，由平面几何知识可得 $\\overrightarrow{EF}$ 与 $AF$ 垂直，即 $\riangle AEF$ 为直角三角形。设 $AB=a$，$AE=x$，则 $EB=a-x$。由 $\riangle AEF$ 的面积为 $\\frac{1}{2}\\cdot x\\cdot\\sqrt{a^2-x^2}=3$，解得 $x=\\sqrt{a^2-12}$。通过同样的方法，可得 $BG=b-\\sqrt{b^2-8}$。再设 $\\overrightarrow{GH}=\\overrightarrow{GF}=x$，由相似三角形可得 $\\frac{x}{\\sqrt{a^2-12}}=\\frac{\\sqrt{b^2-8}}{b}$。化简得 $x=\\frac{\\sqrt{a^2-12}\\cdot\\sqrt{b^2-8}}{b}$。设 $CG=h$，由相似三角形可得 $\\frac{h}{b-\\sqrt{b^2-8}}=\\frac{x}{\\sqrt{a^2-12}}$。化简得 $h=b\\cdot\\frac{\\sqrt{a^2-12}\\cdot\\sqrt{b^2-8}}{2a^2-16}$。由三角形面积公式可得 $\riangle ACG$ 面积为 $\\frac{1}{2}bh=\\frac{1}{2}\\cdot b\\cdot\\frac{\\sqrt{a^2-12}\\cdot\\sqrt{b^2-8}}{2a^2-16}\\cdot b=\\frac{b^2\\cdot\\sqrt{a^2-12}\\cdot\\sqrt{b^2-8}}{4(a^2-2)}$。因此，$ABCD$ 的体积为 $(b^2-8)\\cdot\\frac{\\sqrt{a^2-12}\\cdot\\sqrt{b^2-8}}{4(a^2-2)}$。

第三部分：统计学习中的问题解析

1. 离差平方和与方差

题目：
某班级学生的数学成绩如下表所示，请计算该班数学成绩的方差。| 学生编号 | 成绩 || -------- | ---- || 1 | 85 || 2 | 78 || 3 | 92 || 4 | 70 || 5 | 88 || 6 | 90 || 7 | 82 || 8 | 76 || 9 | 84 || 10 | 80 |解析：
首先，求出该班数学成绩的平均数为 $82.5$。然后，计算每个学生的离差：$2.5,-4.5,9.5,-12.5,5.5,7.5,-0.5,-6.5,1.5,-2.5$。将离差平方后相加，得到离差平方和 $487.5$。最后，计算方差 $S^2=\\frac{\\sum_{i=1}^{n}(x_i-\\overline{x})^2}{n-1}=\\frac{487.5}{9}=54.17$。

2. 相关系数与回归方程

题目：
某校对本科生和硕士研究生的学生学习成绩进行了统计，得到以下数据（其中 $\\operatorname{Corr}(X,Y)=0.9$）：| 学生类别 | 成绩 $X$（本科生） | 成绩 $Y$（硕士研究生） || -------- | ------------------ | ---------------------- || 1 | 90 | 85 || 2 | 80 | 75 || 3 | 70 | 65 || 4 | 75 | 70 || 5 | 85 | 80 || 6 | 78 | 72 || 7 | 82 | 77 |求回归方程。解析：
设回归方程为 $y=ax+b$，则有：$\\operatorname{Corr}(X,Y)=\\frac{\\sum(x_i-\\overline{x})(y_i-\\overline{y})}{\\sqrt{\\sum(x_i-\\overline{x})^2}\\sqrt{\\sum(y_i-\\overline{y})^2}}=\\frac{\\sum xy-n\\overline{x}\\overline{y}}{\\sqrt{\\sum x^2-n\\overline{x}^2}\\sqrt{\\sum y^2-n\\overline{y}^2}}$可得 $\\sum xy=3360$。代入最小二乘法公式 $a=\\frac{\\sum xy-n\\overline{x}\\overline{y}}{\\sum x^2-n\\overline{x}^2}$ 和 $b=\\overline{y}-a\\overline{x}$，得到回归方程为 $y=0.95x-3.25$。