划线法求纳什均衡r1r2r3

介绍

划线法是一种简单有效的求解纳什均衡的方法，适用于零和博弈或者非合作博弈。本文将采用划线法求解三个玩家的纳什均衡策略。

模型

假设有三个玩家A、B、C，他们在贡献公共货物时可以选择付出r1、r2、r3三种代价，从而赢得一定的效益。设A、B、C分别的效益函数为Ua(r1,r2,r3)、Ub(r1,r2,r3)、Uc(r1,r2,r3)，则可以列出如下的博弈矩阵： | | r1 | r2 | r3 | |--|---|---|---| | A | (Ua,Ub, Uc)(r1,0,0) | (Ua,Ub,Uc)(0,r2,0)| (Ua,Ub,Uc)(0,0,r3)| | B | (Ua,Ub,Uc)(r1,0,0) | (Ua,Ub,Uc)(0,r2,0)| (Ua,Ub,Uc)(0,0,r3)| | C | (Ua,Ub,Uc)(r1,0,0)| (Ua,Ub,Uc)(0,r2,0)| (Ua,Ub,Uc)(0,0,r3)|

划线法求解

划线法的步骤如下： 1. 确定一条水平线，使得在该水平线以下的所有格子中，每一列都有至少一个格子被选择。 2. 在确定的水平线上，找到一个格子，使得该格子及其下面的所有格子中，每一行都有至少一个格子被选择。 3. 标记该格子的行和列，并删除所有被标记的行和列所在的格子。 4. 重复步骤1-3，直到无法再找到符合条件的格子。具体应用划线法求解本模型时，步骤如下： 1. 首先，将每个玩家的效益函数化为标准系数形式，即Ua(r1,r2,r3)=-3r1+2r2+2r3，Ub(r1,r2,r3)=2r1-3r2+2r3，Uc(r1,r2,r3)=2r1+2r2-3r3。 2. 然后，根据博弈矩阵绘制一个未标记任何行列的初始表格。 3. 按照划线法的步骤，先确定一条水平线，选择一列，然后标记该列在水平线以下的所有格子。在本模型中，我们可以选择水平线为Ua=-3、即r1的值为1时，标记列r1，标记出来的格子如下： | | r1 | r2 | r3 | |--|---|---|---| | A | (Ua,Ub, Uc)(r1,0,0) | (Ua,Ub,Uc)(0,r2,0)| ~~(Ua,Ub,Uc)(0,0,r3)~~| | B | (Ua,Ub,Uc)(r1,0,0) | (Ua,Ub,Uc)(0,r2,0)| ~~(Ua,Ub,Uc)(0,0,r3)~~| | C | (Ua,Ub,Uc)(r1,0,0)| (Ua,Ub,Uc)(0,r2,0)| ~~(Ua,Ub,Uc)(0,0,r3)~~| 4. 接着，在标记好的列r1中，选择一个符合条件的格子，并标记其它行和列。在本模型中，选择了A行与r2列的格子，标记的结果如下： | | r1 | r2 | ~~r3~~ | |--|---|---|---| | A | (Ua,Ub, Uc)(r1,0,0) | ~~(Ua,Ub,Uc)(0,r2,0)~~| -- | | B | (Ua,Ub,Uc)(r1,0,0) | ~~(Ua,Ub,Uc)(0,r2,0)~~| -- | | C | (Ua,Ub,Uc)(r1,0,0)| ~~(Ua,Ub,Uc)(0,r2,0)~~| -- | 5. 经过重复上述步骤后，得到的标记表如下： | | r1 | r2 | ~~r3~~ | |--|---|---|---| | A | (Ua,Ub, Uc)(r1,0,0) | ~~(Ua,Ub,Uc)(0,r2,0)~~| -- | | B | ~~(Ua,Ub,Uc)(r1,0,0)~~ | ~~(Ua,Ub,Uc)(0,r2,0)~~| -- | | C | --| (Ua,Ub,Uc)(0,r2,0)| -- | 6. 最后，根据标记表，可以得到纳什均衡为r1=1、r2=1、r3=1。

本文采用划线法求解了三个玩家在贡献公共货物时的纳什均衡策略，结果为r1=1、r2=1、r3=1。通过该结果，可以看出，每个玩家都选择了付出同样的代价，以获得最大的效益。